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1．混沌的定义
以下是关于混沌定义的几种描述，侧重点虽有不同，但描述的都是同一种现象。
（1）“定义混沌来源于确定性方程的无规律运动。”
（2）“混沌运动的研究主要涉及不带任何噪声输入的有序系统。混沌运动的发生不需要无限数量的自由度，也不需要外部的扰动。由非常简单函数或微分方程决定的动态系统的未来状态，可以是混沌的。如果系统状态用状态空间上的点来表示的话，那么，相邻点简单地指数式分离而全局受限就产生混沌。”
（3）“仅具有几个元素的简单确定性的系统能够产生随机行为。这种随机行为是本质上的，收集更多的信息并不能消除它。以这种方式产生的随机行为就称为混沌。”
（4）“对于一个非保守动力学系统，如果在一个吸引子上的典型轨迹具有对初始条件的敏感依赖性，则就说该系统是混沌的。”
（5）“混沌是没有周期性的序。”
（6）“混沌是非周期性的、是具有渐进的自相似的有序现象。”
2．通向混沌的途径
（1）倍周期分岔进入混沌。系统运动变化的周期行为是一种有序行为，但在一定的条件下，系统经过周期加倍，会逐步丧失周期行为而进入混沌。
（2）茹勒——泰肯道路通向混沌。物理学家彭伽勒早已发现，三体相互作用会进入混沌。茹勒和泰肯研究证明：当系统内有不同频率的振荡互相耦合时，系统就会出现新的耦合频率的运动，混沌状态可以看做有无穷多个频率耦合的振动现象。
（3）阵发混沌。在非平衡非线性的条件下，某关键参数的变化达到一定的临界阈值时，系统就会出现时而有序、时而混沌的随机振荡，这种现象称阵发混沌。当参数超过临界值时，系统发展成完全的混沌。
3．关于混沌吸引子
混沌是来自动态系统的行为。一个动态系统由两部分组成：状态描述（关于系统的本质信息）和动力学机制（描述状态如何随时间演化的规则）。系统的动态演化过程可以在一个状态空间中表现出来。状态空间是一个由系统运动的自由度构成数轴的一种抽象空间。状态空间为描述混沌系统的行为提供了有力的工具，它用几何图形的方式表达了一个系统的动态行为。所谓吸引子，就是一个系统的动态行为最终停留下来或被吸引过来的状态，即在状态空间中刻划系统长期行为的几何形式。一个动态系统可以有几个或几种吸引子。系统从不同的初始条件出发，状态演化可以到达不同的吸引子。
吸引子有平凡吸引子与奇异吸引子之分，奇异吸引子包括混沌吸引子和奇异非混沌吸引子。混沌吸引子有以下几个主要特征：
（1）是一个相邻轨迹不断分离、又不断接近过程的产物。
（2）混沌吸引子具有对初始条件的敏感依赖性和相对稳定性。
（3）混沌吸引子具有内部精细的结构，即分形。
非平衡非线性过程一旦进入混沌，会出现分数维数。维数是几何学及空间理论的概念。在几何学中，维数取整数。而混沌吸引子，往往具有非整数维数。对分数维数的研究，已发展出一门新学科，称为分形几何。系统进入混沌以后，原来的有序结构并不是完全抹掉了，而是形成无穷多的结构互相套叠。“一个组成部分以某种方式与整体相似的体系就叫分形”。
二．波浪理论的混沌解释
1．理想股市
可以设想有这样一个股市存在：（1）是一个完全市场经济环境下的股票市场，即没有政策方面的干扰；（2）法制体系健全并得到彻底地贯彻执行，即不存在利用内幕消息、利用资金优势等人为地操纵市场的现象；（3）市场足够大。
姑且命名为“理想股市”。理想股市是不带有任何噪声输入的。
这样的一个系统是否是一个混沌系统呢？假设它成立，它的混沌吸引子又是什么呢？
2．理想吸引子与吸引子集合
在波浪理论中，一个完整的循环是8浪循环，5浪上升，3浪调整。这是一个理想中的模式，实际情况要复杂的多。艾略特也归纳出了总计13种基本模式，这13种基本模式按照一定的规则，整合出丰富多彩的实际走势。
假设理想股市的运行是按照理想8浪模式迭代运行，那么这个理想8浪模式就是理想股市的混沌吸引子，称之为理想吸引子。
但现实世界中的股市，不可避免地有噪声存在，尤其中国股市，素有“政策市”、“庄家市”之称。所以实际的股市只能看做是一个近似的混沌系统。
因为各种噪声的存在，走势势必呈多样化。艾略特归纳出的多种变体模式组合，可以视为实际股市系统的混沌吸引子集合。也就是说股市存在多个吸引子。因为实际运行存在多种变量，这使得精确且准确地预测是不可能的。波浪理论给出了未来走势的几种可能，究竟哪种可能会成为现实，如何使预测更接近实际情况，这给波浪理论的使用者留出了发挥个人想象的空间。但这种个人的发挥还是应遵循波浪理论的基本原则。
三．关于预测的话题
任何一种股市的分析方法，包括基本分析、技术分析以及心理分析等等，都是对未来走势的预测。一般说来，预测是指根据事物的发展变化的过去和现在状态，对未来的发展变化作出性质上的推断和数量上的估计。处于混沌态的系统具有两大特征：系统行为具有对初始条件敏感依赖性和运动状态的分形性。关于对未来的预测，混沌理论只能回答将来可能会发生什么，而不能回答一定能发生什么。由于混沌系统本身所固有的非因果机制、蝴蝶效应、混沌分叉、复杂性增长等特性，使得精确的长期预测非常困难甚至于不可能，但是混沌吸引子是系统运动规律的一种体现，这为系统的预测提供了一条途径。
混沌预测大致有三种方法：混沌动力学预测、唯象的混沌预测、混沌情景预测。其中，唯象的混沌预测是黑箱理论与混沌理论的结合。波浪理论的预测方法即是唯象学预测法。它是一种从现象到现象的预测方法，它通过现象看本质，以大量现象为依据，探讨事物发生和发展的规律。艾略特在对道钟斯平均指数走势的长期研究中，发现相同的现象一再重演，他分离出十三种价格运动模式，“他给各种模式一一命名，逐个定义，分别图解。他随后解释了它们是如何连接在一起，形成它们自身的更大的变体，以及它们是如何依次相连形成大一级的相同模式，依此类推，从而产生结构化的价格行进。艾略特称这种现象是波浪理论。”
▲总结：实际的股票市场是有噪声输入的混沌系统，股票指数的运动形态具有分形的表征。股市有多个混沌吸引子存在。波浪理论采用的是唯象学预测方法，它所揭示的股市未来走势的多种可能，即是股市的混沌吸引子集合。其中，8浪循环模式是最重要的理想吸引子。 |
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